Spesielle tall i matematikken

Vegard Øye •

Fra de tidligste tider har menneskene lagt merke til geometriske former i naturen. Grekerne gjorde geometrien til en formell vitenskap med presise definisjoner og regler ca. år 300 f.Kr. Hovedårsaken til dette var at tallæren hadde gitt opphav til selvmotsigelser og paradokser, og derfor ble ansett som utilstrekkelig på mange områder.

Ca. år 500 f.Kr. oppdaget matematikeren Pytagoras og hans medarbeidere at lengden av diagonalen i et kvadrat med 1 som side ikke kan skrives som en vanlig brøk. Det var et gjennombrudd i datidens matematikk, men det fortelles også at det ble forsøkt holdt hemmelig. Irrasjonale tall, som ikke kan skrives som brøker, på standardform eller uttrykkes eksakt numerisk, føyde seg mer eller mindre velkomment inn i de tilvante tallrekker. Et irrasjonalt tall har et uendelig antall desimaler; det slutter aldri.

Det vrimler av «mystiske» tall i matematikken, det være seg nummer med uvanlige egenskaper eller tall som brukes særskilt innenfor bestemte fagområder. Noen har fått stor betydning for kunst og arkitektur i flere verdenshjørner, andre står sentralt i visse emner innen matematisk beregning. Denne rapporten gir eksempler på slike tall, og hvilket hodebry de har vordet matematikere opp gjennom århundrene. To sentrale verdier – pi og det gylne snitt – er begge irrasjonale tall.

Pi – en matematisk idrett

Tallet pi (\(\pi\)), som er forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel, har engasjert mennesker i tusenvis av år. Den første aha-opplevelsen kan kanskje ha inntruffet da man fant ut at forholdet mellom diameter og omkrets i en sirkel alltid er konstant. Den kjente matematikeren Arkimedes (287‒212 f.Kr.) var den første som beviste at dette forholdet forekommer i formlene for både omkretsen og arealet av en sirkel. Dette gjorde han ved å vise at arealet av en sirkel er lik arealet av en rettvinklet trekant med kateter lik radien og omkretsen i sirkelen.

Arkimedes beregnet forholdet mellom diameter og omkrets til å ligge mellom 3,140 845 og 3,142 857 2. Det gir pi med to rette desimaler. Teknikken han brukte, var å innskrive en mangekant med like store sider og vinkler – et regulært polygon – i en sirkel, og så beregne omkretsen til denne. Slik kunne han finne et forhold mellom omkretsen av mangekanten og diameteren, tilnærmet den som måtte gjelde for perfekte sirkler. Jo flere sider det var i mangekanten, jo mer nøyaktig ble utregningen. Arkimedes brukte tolvkanter, 24-kanter, 48-kanter og 96-kanter for å komme frem til resultatet sitt.

Nye utregninger

Man skjønner fort at metoden med innskrivning av mangekanter er meget arbeidskrevende. I 1650 fant briten John Wallis frem til en formel som gir økt nøyaktighet i utregning av pi avhengig av hvor mange ledd formelen inneholder. Etter at differensialregningen ble funnet opp, kunne man lage slike rekkeutviklinger av pi:

\[\frac{\pi}{4} = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{9} – \frac{1}{11} + \dots\]

\[\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \dots\]

Wallis’ produkt ser slik ut:

\[\frac{\pi}{2} = \left(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\right) \cdot \left(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\right) \cdot \dots\]

Parentesene i denne likningen er der kun for oversiktlighetens skyld. Hver parentes kan vi kalle et eget «ledd» i stykket. Jo flere ledd vi bruker, jo mer nøyaktig blir utregningen. Likningen i eksemplet over gir \(\pi = 2,97\). For å få 4 korrekte desimaler må feilmarginen være mindre enn \(0,00005 = 1/20000\), og vi trenger nesten 10 000 ledd.

Symbolet for pi, \(\pi\), ble innført av engelskmannen William Jones (1675‒1749) i 1706, som den første greske bokstav i det greske ordet for omkrets, perimetros. Det var imidlertid først da den sveitsiske matematikeren Leonard Euler begynte å bruke det i sine arbeider, at det ble allment akseptert.

Datamaskinens tidsalder

Å finne pi har vært en matematisk «idrett» i lang tid. Med datamaskinens inntreden har vi igjen en ny æra når det gjelder antall desimaler i pi. Allerede i 1967 var konstanten kjent med 500 000 desimaler.

Den siste verdensrekorden ble satt i Kanada-laboratoriet ved Universitetet i Tokyo, hvor en superdatamaskin inneholdende 128 svært kraftige mikroprosessorer regnet ut de første 206 158 430 000 sifrene. De første 3 200 000 000 sifrene er offentlig tilgjengelige fra prosjektets filtjeneste for spesielt interesserte, fordelt på 31 binærfiler som samlet utgjør ca. 1,52 gigabyte (litt over det dobbelte av lagringskapasiteten til en vanlig CD-ROM-plate).

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974
  944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282
  306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938
  521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648
  233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393
  607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091
  715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609
  433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462
  379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362 440
  656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 702 179 860 943 702 770 539 217 176
  293 176 752 384 674 818 467 669 405 132 000 568 127 145 263 560 827 785 771
  342 757 789 609 173 637 178 721 468 440 901 224 953 430 146 549 585 371 050
  792 279 689 258 923 542 019 956 112 129 021 960 864 034 418 159 813 629 774

Noe å ta med på eksamen? Skoleelever trenger heldigvis ikke å pugge alle de første 742 sifrene i tallet pi, som bare utgjør en brøkdel av de tallengder moderne datamaskiner har kommet frem til.

Nå er oppmerksomheten rettet mot å se om det finnes mønstre i desimalene til pi. Det vil i så fall gjøre utregningen av det verdensberømte tallet en hel del lettere.

Det gylne forhold

Det gylne forhold er en symmetrisk proporsjon utgjort av asymmetriske deler. To tall, former eller elementer legemliggjør forholdet når den mindre er til den store hva den store er til summen av begge. Det vil si, \(a : b = b : (a + b)\). Sagt med algebra er dette forholdet \(1 : \varphi = 1 : (1 + \sqrt{5})/2\), og med trigonometri kan det uttrykkes \(1 : (2 \sin{54°})\). Dets omtrentlige verdi utviklet av desimaler er \(1 : 1,61803\).[1]

Det andre uttrykket som omfatter dette forholdet, \(\varphi\) (den greske bokstaven fi), er et nummer med flere uvanlige egenskaper. Hvis man legger en til \(\varphi\), får man dets kvadrattall (\(\varphi \times \varphi = \varphi^2\)). Hvis man trekker en fra \(\varphi\), får man dets inverse verdi (\(1 / \varphi = \varphi^{-1}\)). Og hvis man multipliserer \(\varphi\) i det uendelige med seg selv, får man en endeløs tallrekke som oppsummerer ett enkelt forhold. Det forholdet er \(1 : \varphi\). Hvis vi skriver disse faktaene i algebra, ser de slik ut:

\[\varphi + 1 = \varphi^2\]

\[\varphi – 1 = 1 / \varphi\]

\[\varphi^{-1} : 1 = 1 : \varphi = \varphi : \varphi^2 = \varphi^2 : \varphi^3 = \varphi^3 : \varphi^4 = \varphi^4 : \varphi^5 …\]

Fibonacci-tallene

En numerisk tilnærmelse for det gylne forhold, \(1 : \varphi\), kan man finne i en tallrekke kalt Fibonacci-tallene, oppkalt etter Leonardo av Pisa (1170‒1240). Han ble gjerne kalt «Fibonacci» av sine bekjente, som er en forkortelse for Filius Bonacci (sønn av Bonacci).

Det Fibonacci gjorde var å lage et tenkt kaninforsøk der man starter med to kaniner som får to unger hver måned. Kaniner kan parre seg allerede når de bare en måned gamle, så etter to måneder kan en hunnkanin produsere enda et kaninpar. Anta at kaninene våre aldri dør ut og at hunnkaninene alltid produserer et nytt par (en hunnkanin, en hannkanin) hver eneste måned etter den andre måneden etter fødselen. Spørsmålet til Fibonacci var som følger: Hvor mange kaniner lever i alt etter ett år?

Hvis vi ser bort fra de genetiske problemene innavl vanligvis medfører, kan vi sette opp følgende tallrekke over antall kaninpar (begynner på 1):

\[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, …\]

Her er hvert tall etter de to første summen av de to foregående. Og jo lengre vi fortsetter langs denne tallrekken, jo nærmere kommer vi en eksakt tilnærmelse av tallet \(\varphi\). Altså er \(5 : 8 = 1 : 1,68\); \(13 : 21 = 1 : 1,615\); \(21 : 34 = 1 : 1,619\), og så videre. Sammenlikn dette med \(\varphi^x : \varphi^{x + 1}\)-serien på forrige side.

Når vi deler et linjestykke opp i to lengder og forholdet mellom disse lengdene tilsvarer \(1 : \varphi\), vil lengdene grense til hverandre på et punkt på linja som kalles det gylne snitt. Vi sier også at dette punktet høydeler linjestykket. Det gylne snitt brukes i mange sammenhenger i arkitektur, formgivning, musikk og billedkunst. Fotografer og designere tenker fortsatt på det gylne snitt når de skal komponere bildene sine: Et fotografi blir aldri pent hvis man f.eks. lar horisonten komme midt på bildet.

Det gylne forhold hadde stor betydning for kunstformene under renessansen og tidligere stilperioder, og ble brukt som basis for utvikle gylne geometriske figurer. To former – det gylne rektangel og den gylne trekant – er mye brukt. Felles for dem begge er at kortsiden høydeler langsiden (når vi avsetter kortsiden på langsiden). En gyllen trekant har to langsider og vinklene 72°, 72° og 36°.

Naturlig irrasjonalitet

Også naturen synes å foretrekke det gylne forhold for mange av sine prosesser. På 1970-tallet fant botanikerne nærmere ut av systemet for celledeling i vekstsonen hos blomsterskudd. Denne celledelingen skjer ikke vilkårlig, men følger et spesielt mønster. Knoppskytningen skjer så å si alltid i en bestemt vinkel i forhold til den sektoren der forrige knoppskytning skjedde. Etter omfattende undersøkelser ble denne vinkelen bestemt til å være 222,5 grader, og var stort sett konstant fra celle til celle etter hvert som planten vokste. Ser vi nærmere på denne vinkelen, finner vi:

\[222,5° : 360° = 0,62\]

som er meget nær det gylne snitt. Vinkelen kalles gjerne den gylne vinkel, og uttrykkes \(360° : \varphi\). Dette matematiske regelverk som mange planter bruker, er altså i samsvar med det gylne snitt og framkommer i kombinasjonen mellom plantenes genetikk og de omliggende randbetingelser.

Kilder

For videre arbeid

  1. Det eksisterer noe uenighet om verdien av det gylne forhold. I noen lærebøker omtales det som \(1 : \varphi\), i andre som \(\varphi : 1\) (= \(\varphi\)). Begge er like kurante, det er bare valg av divisor og dividend som varierer. I denne rapporten brukes førstnevnte forhold, \(1 : \varphi\). ↩︎