Delbrøksoppspaltning

Ved delbrøksoppspaltning faktoriseres nevneren i brøken som vi ønsker å spalte opp. Hver faktor gir så en delbrøk med en eller flere ukjente verdier i telleren. De ukjente verdiene finnes så ved å sette det nye delbrøksuttrykket, altså summen av alle delbrøkene, lik det opprinnelige.

Eksempel 1: Dersom vi ønsker å utføre delbrøksoppspaltning av uttrykket \((6x + 8)/(x^2 + 3x + 2)\), faktoriserer vi først nevneren og får \(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\). Her har vi to lineære faktorer, dvs. faktorer på formen \(ax + b\), og prinsippet vi da skal følge er dette: En lineær faktor \(ax + b\) gir en delbrøk på formen \(A/(ax + b)\), der \(A\) er en ukjent konstant. Nevnerfaktoren \(x + 1\) gir altså delbrøken \(A/(x + 1)\), mens nevnerfaktoren \(x + 2\) gir delbrøken \(B/(x + 2)\). Nå gjenstår det å sette summen av disse delbrøkene lik det opprinnelige uttrykket for å finne \(A\) og \(B\): \((6x + 8)/(x^2 + 3x + 2) = (6x + 8)/((x + 1)(x + 2)) = A/(x + 1) + B/(x + 2)\), som ganges på begge sider med \((x + 1)\) og \((x + 2)\) slik at vi får \(6x + 8 = A(x + 2) + B(x + 1)\). Dette uttrykket kan omformes til \(6x + 8 = (A + B)x + 2A + B\), slik at vi kan finne \(A\) og \(B\) ved å betrakte koeffisientene: Koeffisienten til \(x\) på venstresiden, \(6\), må være lik koeffisienten til \(x\) på høyresiden, \((A + B)\), slik at vi har \(6 = A + B\). Tilsvarende har vi at \(8 = 2A + B\). Dette ligningssettet kan løses ved bruk av innsettingsmetoden, dvs. å ordne den ene ligningen for en av de ukjente størrelsene og sette dette uttrykket inn i den andre ligningen: \(B = 6 – A\), og da er \(8 = 2A + 6 – A\), som kan ordnes slik at vi får \(A = 2\). Dermed er \(B = 6 – 2 = 4\), og det endelige svaret blir \((6x + 8)/(x^2 + 3x + 2) = 2/(x + 1) + 4/(x + 2)\).

Eksempel 2: Fra uttrykket \((2x + 5)/(x^2 – 2x + 1)\) får vi \((2x + 5)/(x – 1)^2\) når vi faktoriserer nevneren. Her har vi en gjentatt lineær faktor, dvs. en faktor på formen \((ax + b)^2\), og prinsippet er da dette: En gjentatt lineær faktor \((ax + b)^2\) gir delbrøkene \(A/(ax + b) + B/(ax + b)^2\), der \(A\) og \(B\) er ukjente konstanter. Nevnerfaktoren \((x – 1)^2\) gir altså delbrøkene \(A/(x – 1) + B/(x – 1)^2\). Dette settes lik det opprinnelige uttrykket for å finne \(A\) og \(B\): \((2x + 5)/(x^2 – 2x + 1) = (2x + 5)/(x – 1)^2 = A/(x – 1) + B/(x – 1)^2\), som ganges på begge sider med \((x – 1)^2\) slik at vi får \(2x + 5 = A(x – 1) + B = Ax – A + B\). Ved å betrakte koeffisientene har vi at \(A = 2\) og \(B = 5 + A = 5 + 2 = 7\). Det endelige svaret blir \((2x + 5)/(x^2 – 2x + 1) = 2/(x – 1) + 7/(x – 1)^2\).

La oss sjekke om det ovenstående svaret stemmer for å få et litt bedre grep om hvordan delbrøkoppspaltning med gjentatte lineære faktorer «fungerer». Dersom vi utvider den første brøken (dvs. ganger teller og nevner) med \((x – 1)^2\) og den andre brøken med \((x – 1)\), får vi \(2(x – 1)^2/((x – 1)(x – 1)^2) + 7(x – 1)/((x – 1)(x – 1)^2)\), som kan settes på felles brøkstrek slik at vi får \((2(x – 1)^2 + 7(x – 1))/((x – 1)(x – 1)^2)\). Her kan telleren faktoriseres ved å trekke ut faktoren \((x – 1)\), og vi får \(((x – 1)(2(x – 1) + 7))/((x – 1)(x – 1)^2)\), som kan forenkles til \((2(x – 1) + 7)/(x – 1)^2\). Og dette er lik \((2x + 5)/(x – 1)^2\), som igjen er lik utgangspunktet, \((2x + 5)/(x^2 – 2x + 1)\).

Eksempel 3: Fra uttrykket \((3x^2 + 11x + 14)/(x^3 + 2x^2 – 11x – 52)\) får vi \((3x^2 + 11x + 14)/((x – 4)(x^2 – 6x + 13))\) når vi faktoriserer nevneren, der \(x^2 – 6x + 13\) ikke lar seg faktorisere videre (den relaterte andregradsligningen har ingen reelle løsninger). Her har vi i tillegg til en lineær faktor en kvadratisk faktor, dvs. en faktor på formen \(ax^2 + bx + c\), og prinsippet er da dette: En kvadratisk faktor \(ax^2 + bx + c\) gir en delbrøk på formen \((Ax + B)/(ax^2 + bx + c)\), der \(A\) og \(B\) er ukjente konstanter. Nevnerfaktorene \(x – 4 og x^2 – 6x + 13\) gir altså delbrøkene \(A/(x – 4) + (Bx + C)/(x^2 + 6x + 13)\). Dette settes lik det opprinnelige uttrykket for å finne \(A\), \(B\) og \(C\): \((3x^2 + 11x + 14)/(x^3 + 2x^2 – 11x – 52) = (3x^2 + 11x + 14)/((x – 4)(x^2 – 6x + 13)) = A/(x – 4) + (Bx + C)/(x^2 + 6x + 13)\), som ganges på begge sider med \((x – 4)\) og \((x^2 – 6x + 13)\) slik at vi får \(3x^2 + 11x + 14 = A(x^2 – 6x + 13) + (Bx + C)(x – 4)\). Ved å ordne høyresiden fås \((A + B)x^2 + (6A – 4B + C)x + 13A – 4C\), men i stedet for å betrakte koeffisientene og lage et ligningssett med tre ligninger, setter vi \(x = 4\) inn i ligningen. (Vi kan sette en hvilken som helst \(x\)-verdi inn i ligningen siden det er \(A\), \(B\) og \(C\) vi er interessert i, men vi velger \(x = 4\) fordi faktoren \((x – 4)\) da blir lik null, og dermed forsvinner hele det siste leddet.) Dermed får vi det nye uttrykket \(106 = 53A\), hvorfra det følger at \(A = 2\). Nå som denne verdien er kjent, blir det mye lettere å finne \(B\) og \(C\): Ved å betrakte koeffisientene til \(x^2\) har vi at \(3 = A + B\), hvorfra det følger at \(B = 1\), og ved å betrakte konstantleddet på begge sider har vi at \(14 = 13A – 4C\), hvorfra det følger at \(C = 3\). Det endelige svaret blir \((3x^2 + 11x + 14)/(x^3 + 2x^2 – 11x – 52) = 2/(x – 4) + (x + 3)/(x^2 + 6x + 13)\).

Merk at alle brøkene over ikke er uekte, dvs. graden til telleren er alltid mindre enn graden til nevneren. Delbrøksoppspaltningen til uekte brøker, dvs. brøker hvor graden til telleren er større enn eller lik graden til nevneren, har noen ekstra ledd i tillegg til de som følger av nevnerfaktorene. Disse ekstra leddene er på formen til et polynom av grad \(t – n\), der \(t\) er graden til telleren og \(n\) er graden til nevneren. Delbrøksoppspaltningen til uttrykket \((4x^3 + 10x + 4)/(2x^2 + x) = (4x^3 + 10x + 4)/(x(2x + 1))\) blir altså \(Ax + B + C/x + D/(2x + 1)\), der \(Ax + B\) er et polynom av grad \(1\), noe som følger av at telleren er av grad \(3\) og nevneren av grad \(2\).