Lineære differensialligninger med konstante koeffisienter
1. ordens lineær differensialligning med konstante koeffisienter
\[ a \cdot y’ + b \cdot y = f(t), y(0)\text{ gitt} \]
Her er \(a\) og \(b\) konstanter, mens \(f(t)\) er en ytre kilde (f.eks. en spenningskilde). \(y(0)\) er startbetingelsen til differensialligningen.
Når en skal løse en slik differensialligning, kan en følge følgende prosedyre:
1. Bestem den homogene (transiente) løsningen først
Den karakteristiske ligningen er gitt ved \(a \cdot \lambda + b = 0\). \(y_H = C \cdot e^{\lambda \cdot t}\), der \(\lambda\) finnes fra den karakteristiske ligningen. Tidskonstanten til systemet er gitt ved \(\lvert 1/\lambda\rvert\).
2. Bestem deretter den partikulære (stasjonære) løsningen
Den partikulære løsningen, \(y_P\), vil alltid være av samme funksjonstype som \(f(t)\), eventuelt multiplisert med \(t\) dersom det er sammenfall mellom den homogene løsningen og \(f(t)\).
- Konstant: \(y_P = A\)
- 1. grads polynom: \(y_P = A \cdot t + B\)
- 2. grads polynom: \(y_P = A \cdot t2 + B \cdot t + C\)
- Eksponentialfunksjon (\(e^{-b \cdot t}\)): \({y_P = A \cdot e^{-b \cdot t}}\)
- Sinus- og/eller cosinusfunksjon med vinkelfrekvens \(\omega\): \(y_P = A \cdot \sin(\omega \cdot t) + B \cdot \cos(\omega \cdot t)\)
NB! Den frie konstanten eller de frie konstantene i den partikulære løsningen finnes ved å sette inn den partikulære løsningen inn i differensialligningen. Ved å sammenligne venstre og høyre side vil konstanten(e) bli bestemt.
3. Den totale løsningen er da summen av den homogene og den partikulære løsningen
\[ y(t) = y_H(t) + y_P(t) \]
4. Den frie konstanten i den homogene løsningen bestemmes slik at startbetingelsen oppfylles
2. ordens lineær differensialligning med konstante koeffisienter
\[ a \cdot y’’ + b \cdot y’ + c \cdot y = f(t), y(0)\text{ og }y’(0)\text{ gitt} \]
Her er \(a\), \(b\) og \(c\) konstanter, mens \(f(t)\) er en ytre kilde (f.eks. en spenningskilde). \(y(0)\) og \(y’(0)\) er startbetingelsene til differensialligningen.
Når en skal løse en slik differensialligning, kan en følge følgende prosedyre:
1. Bestem den homogene (transiente) løsningen først
Den karakteristiske ligningen er gitt ved \(a \cdot \lambda^2 + b \cdot \lambda + c = 0\).
- Tilfelle 1, reelle og forskjellige \(\lambda\)-verdier: \(y_H = C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} + C2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot t}\), der \(\lambda_1\) og \(\lambda_2\) finnes fra den karakteristiske ligningen.
- Tilfelle 2, reelle og like \(\lambda\)-verdier: \(y_H = C_1 \cdot e^{\lambda \cdot t + C_2 \cdot t} \cdot e^{\lambda \cdot t}\), der \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\) finnes fra den karakteristiske ligningen.
- Tilfelle 3, komplekskonjugerte \(\lambda\)-verdier: \(y_H = e^{\alpha \cdot t} \cdot (A \cdot \cos(\beta \cdot t) + B \cdot \sin(\beta \cdot t))\), der \(\lambda = \alpha \pm i\beta\).
2. Bestem deretter den partikulære (stasjonære) løsningen
Den partikulære løsningen, \(y_P\), vil alltid være av samme funksjonstype som \(f(t)\), eventuelt multiplisert med \(t\) eller \(t_2\) dersom det er sammenfall mellom den homogene løsningen og \(f(t)\).
- Konstant: \(y_P = A\)
- 1. grads polynom: \(y_P = A \cdot t + B\)
- 2. grads polynom: \(y_P = A \cdot t_2 + B \cdot t + C\)
- Eksponentialfunksjon (\(e^{-b \cdot t}\)): \({y_P = A \cdot e^{-b \cdot t}}\)
- Sinus- og/eller cosinusfunksjon med vinkelfrekvens \(\omega\): \(y_P = A \cdot \sin(\omega \cdot t) + B \cdot \cos(\omega \cdot t)\)
NB! Den frie konstanten eller de frie konstantene i den partikulære løsningen finnes ved å sette inn den partikulære løsningen inn i differensialligningen. Ved å sammenligne venstre og høyre side vil konstanten(e) bli bestemt.
3. Den totale løsningen er da summen av den homogene og den partikulære løsningen
\[ y(t) = y_H(t) + y_P(t) \]