Lineære differensialligninger med konstante koeffisienter

Den karakteristiske ligningen er gitt ved $a \cdot \lambda + b = 0$. $y_H = C \cdot e^{\lambda \cdot t}$, der $\lambda$ finnes fra den karakteristiske ligningen. Tidskonstanten til systemet er gitt ved $\lvert 1/\lambda\rvert$.

Den partikulære løsningen, $y_P$, vil alltid være av samme funksjonstype som $f(t)$, eventuelt multiplisert med $t$ dersom det er sammenfall mellom den homogene løsningen og $f(t)$.

• Konstant: $y_P = A$
• 1. grads polynom: $y_P = A \cdot t + B$
• 2. grads polynom: $y_P = A \cdot t2 + B \cdot t + C$
• Eksponentialfunksjon ($e^{-b \cdot t}$): ${y_P = A \cdot e^{-b \cdot t}}$
• Sinus- og/eller cosinusfunksjon med vinkelfrekvens $\omega$: $y_P = A \cdot \sin(\omega \cdot t) + B \cdot \cos(\omega \cdot t)$

NB! Den frie konstanten eller de frie konstantene i den partikulære løsningen finnes ved å sette inn den partikulære løsningen inn i differensialligningen. Ved å sammenligne venstre og høyre side vil konstanten(e) bli bestemt.

$$y(t) = y_H(t) + y_P(t)$$

Den karakteristiske ligningen er gitt ved $a \cdot \lambda^2 + b \cdot \lambda + c = 0$.

• Tilfelle 1, reelle og forskjellige $\lambda$-verdier: $y_H = C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} + C2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot t}$, der $\lambda_1$ og $\lambda_2$ finnes fra den karakteristiske ligningen.
• Tilfelle 2, reelle og like $\lambda$-verdier: $y_H = C_1 \cdot e^{\lambda \cdot t + C_2 \cdot t} \cdot e^{\lambda \cdot t}$, der $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ finnes fra den karakteristiske ligningen.
• Tilfelle 3, komplekskonjugerte $\lambda$-verdier: $y_H = e^{\alpha \cdot t} \cdot (A \cdot \cos(\beta \cdot t) + B \cdot \sin(\beta \cdot t))$, der $\lambda = \alpha \pm i\beta$.

Den partikulære løsningen, $y_P$, vil alltid være av samme funksjonstype som $f(t)$, eventuelt multiplisert med $t$ eller $t_2$ dersom det er sammenfall mellom den homogene løsningen og $f(t)$.

• Konstant: $y_P = A$
• 1. grads polynom: $y_P = A \cdot t + B$
• 2. grads polynom: $y_P = A \cdot t_2 + B \cdot t + C$
• Eksponentialfunksjon ($e^{-b \cdot t}$): ${y_P = A \cdot e^{-b \cdot t}}$
• Sinus- og/eller cosinusfunksjon med vinkelfrekvens $\omega$: $y_P = A \cdot \sin(\omega \cdot t) + B \cdot \cos(\omega \cdot t)$

NB! Den frie konstanten eller de frie konstantene i den partikulære løsningen finnes ved å sette inn den partikulære løsningen inn i differensialligningen. Ved å sammenligne venstre og høyre side vil konstanten(e) bli bestemt.

$$y(t) = y_H(t) + y_P(t)$$