Grenseverdisetningen

\[0 < \lvert x – x_0\rvert < \delta \quad\Rightarrow\quad 0 < \lvert f(x) – L\rvert < \epsilon\]

Vi har en \(\delta\), og den bruker vi for å komme nærmere \(x_0\), ved å skvise sammen differansen mellom \(x\) og \(x_0\). (Dvs. \(x\) er en fri variabel og kan være hva som helst, men den kan ikke være lengre unna \(x_0\) enn \(\delta\).) I tillegg har vi en \(\epsilon\), og den bruker vi for å komme nærmere grenseverdien \(L\), ved å skvise sammen differansen mellom \(f(x)\) og \(L\). Bokstavene \(\delta\) (delta) og \(\epsilon\) (epsilon) kan forstås som «differanse» og «feilmargin» («error»), og differansen og feilmarginen henger sammen gjennom implikasjonspilen.

Hvis feilmarginen nå er gitt – la oss si at \(\epsilon = 3\) eller noe annet – så må vi sørge for at \(f(x)\) kommer såpass nærme \(L\). Hvordan gjør vi det? Jo, ved å flytte på \(x\). Hvis vi reduserer spillerommet til \(x\) (differansen), så følger det av implikasjonen at vi også reduserer spillerommet til \(f(x)\) (feilmarginen). Det er altså bare å redusere \(\delta\) inntil \(x\) er så innsnevret at \(f(x)\) må komme nærme nok \(L\), altså inntil \(\lvert f(x) – L\rvert < 3\).

Poenget er at grenseverdidefinisjonen sier at vi kan gjøre dette uansett hva \(\epsilon\) er. Uansett feilmargin, så kan differansen gjøres liten nok:

Grenseverdien \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\) eksisterer hvis og bare hvis det for enhver \(\epsilon > 0\) finnes en \(\delta > 0\) som oppfyller kriteriene over.

Så uansett hvor tett vi ønsker å skvise sammen \(f(x)\) og \(L\), er det mulig å skvise sammen \(x\) og \(x_0\) tilsvarende. Dermed går \(f(x)\) mot \(L\) når \(x\) går mot \(x_0\).